Progressão Aritmética (concluido)

 

 

             Aluna: Aislin Gabriella dos Santos Campos.             Turma: 18122.1M

          

          Blog realizado como requisito aliativo da matéria de matemática, III unidade, ministrado pelo prof. Mateus Souza de Oliveira.😁

Progressão Aritmética

•  É uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A..
• Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior.

💣Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (P.G.), pois nesta, os números são multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.

• As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A. finita) ou um número infinito de termos (P.A. infinita).

• Para indicar que uma sequência continua indefinidamente utilizamos reticências, por exemplo:

• a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A. infinita.
• a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita.

Classificação de uma P.A.

De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em:

• Constante: quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0.
• Crescente: quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 2.
• Decrescente: quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5

Propriedades da P.A.

1ª propriedade:

Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Exemplo 1:

2ª propriedade:

Considerando três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.

Exemplo 2:

3ª propriedade:

Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética entre termos equidistantes deste. Esta propriedade deriva da primeira.

Fórmula do Termo Geral:

an: termo que queremos calcular
a1: primeiro termo da P.A.
n: posição do termo que queremos descobrir
r: razão

Explicação da fórmula

Como a razão de uma P.A. é constante, podemos calcular seu valor a partir de quaisquer termos consecutivos:

Sendo assim, podemos encontrar o valor do segundo termo da P.A. fazendo:

Para encontrar o terceiro termo utilizaremos o mesmo cálculo:

Substituindo o valor de a2, que encontramos anteriormente, temos:

Se seguirmos o mesmo raciocínio, podemos encontrar:

💣 notamos que cada termo será igual a soma do primeiro termo com a razão multiplicada pela posição anterior.

• Esse cálculo é expresso através da fórmula do termo geral da P.A., que nos permite conhecer qualquer elemento de uma progressão aritmética.

Exemplo 3:

Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)

Solução:

Primeiro, devemos identificar que:

a1 = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10º termo).

Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos:

an = a1 + (n - 1) . r
a10 = 26 + (10-1) . 5
a10 = 26 + 9 .5
a10 = 71

Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a 71.

Fórmula do termo geral a partir de um termo k qualquer

Muitas vezes, para definir um termo genérico qualquer, que chamamos de an, não temos o primeiro termo a1, mas conhecemos outro qualquer, que chamamos de ak.

• Podemos usar a fórmula do termo geral a partir de um termo k qualquer:

• an: o n-ésimo termo da P.A. (um termo numa posição n qualquer)

• ak: o k-ésimo termo de uma P.A. (um termo numa posição k qualquer)

r: a razão

Soma dos Termos de uma P.A.

Para encontrar a soma dos termos de uma P.A. finita, basta utilizar a fórmula:

Sn: soma dos n primeiros termos da P.A.
a1: primeiro termo da P.A.
an: ocupa a enésima posição na sequência (uma termo na posição n)
n: posição do termo

FONTES:

https://www.todamateria.com.br/progressao-aritmetica/